4.1 Óptica Geométrica Segunda Ley de Newton
Este campo de la óptica se ocupa de la aplicación de las leyes de reflexión y refracción de la luz al diseño de lentes y otros componentes de instrumentos ópticos.
Segunda Ley de Newton Isaac Newton en el billete de una libra inglesa Para más billetes con físicos famosos, haga clic aquí Como referencia, he aquí de nuevo las tres leyes: (1) En ausencia de fuerzas, un cuerpo en reposo seguirá en reposo, y un cuerpo moviéndose a velocidad constante en línea recta continuará haciéndolo indefinidamente. (2) Cuando se aplica una fuerza a un objeto (“cuerpo”) se acelera en la dirección de la fuerza. La aceleración es directamente proporcional a la intensidad de la fuerza e inversamente proporcional a la masa a mover:
a = F/m ó F = ma
(3) Las fuerzas son siempre producidas en pares, teniendo direcciones opuestas e igual magnitud. Si el cuerpo nº 1 actúa con una fuerza F sobre el cuerpo nº 2, el cuerpo nº 2 actuará sobre el nº 1 con una fuerza de igual intensidad y dirección opuesta.
La segunda ley proporciona una fórmula explícita y por ello es una de las más útiles. Pero también puede ser una de las que los estudiantes de física encuentren más confusa. Su problema se enuncia como sigue: Una fórmula en la que todas las cantidades están definidas puede usarse para deducir a una de las otras. Una fórmula donde una cantidad no está definida puede, en el mejor de los casos, servir como definición: aísle esa cantidad en el lado de signos “iguales” y lo definirá en los términos de los otros. Una fórmula en la cual dos cantidades están sin definir, llamadas A y B, es poco menos que inútil. No nos dice nada sobre esas cantidades, puesto que cualquier valor que se escoja para A ó B puede siempre ajustarse para que la ecuación se cumpla. Ese parece el caso en F = ma. La aceleración a es una cantidad bien definida, el cambio por segundo en la velocidad (y también tiene una dirección). Pero, ¿que pasa con m y F?. ¿Como se puede usar la ecuación sin definirlas por independiente?
Buena pregunta. Generaciones de estudiantes de física lucharon con eso y a menudo, también sus profesores. Algunos retrocedieron definiendo la masa como peso, usando la gravedad como una herramienta. Un profesor que yo conozco, un físico distinguido, blandió su brazo al frente de la clase y definió la fuerza con la analogía de que era como la producida por sus músculos.
La formulación de las leyes de Newton por Mach
Ernst Mach
Ernest Mach, que vivió en Alemania dos siglos después que Newton, dio la que puede ser la respuesta más satisfactoria. Mach argumentaba que las leyes de Newton se unían en una sola:
“Cuando dos objetos compactos (“puntos masa” en palabras de física) actúan uno sobre el otro, aceleran en direcciones opuestas y la relación de sus aceleraciones es siempre la misma”. Léalo de nuevo: no menciona fuerzas ó masas, solo aceleración, la cual puede medirse. Cuando una pistola actúa sobre una bala, un cohete sobre su chorro, el Sol sobre la Tierra (en la escala de la distancia que los separa, el Sol y la Tierra pueden ser vistos como objetos compactos), las aceleraciones son siempre directamente opuestas. La masa y la fuerza se derivan ahora fácilmente. Si uno de los objetos es un litro de agua, su masa se define como un kilogramo. Si luego actúa sobre otro objeto (quizás, para el experimento, con el agua convertida en hielo), la relación de su aceleración awcon la aceleración del otro objeto nos da la masa del objeto m:
aw /a = m /1 kg = m
Luego
m a = 1 kg. aw
esto se puede interpretar diciendo que una unidad de fuerza de magnitud aw existe entre las dos
F = m a = 1 kg. aw
Esa unidad de fuerza será la fuerza que causa que 1 kg se acelere a 1 m/s2, esto es, su velocidad se incrementa cada segundo en 1 m/s. Parece correcto llamar a esa unidad el newton. Después de todo, Newton fue quien, con esa fórmula, hizo que fuese posible calcular todos los movimientos y la aplican por doquier los ingenieros todos los días con finalidades prácticas. No extraña que el poeta Alexander Pope, quien vivió en tiempos de Newton, escribiera:
La Naturaleza y sus leyes yacían
escondidas en la noche
Dios dijo: “¡Hagamos existir a Newton!”
y se hizo la luz.
Gravedad Oh si, la gravedad. Un cuerpo cayendo, tanto si es ligero como si es pesado, tiene la misma aceleración g: unos 10 m/s2. ¿Donde entra F = ma aquí? Newton llamó a la fuerza que produce la citada aceleración gravitación, y propuso que era proporcional a la masa. Esa fuerza, medida en newtons, con m en kilos, es
F = m g
Sustituyendo esto en la fórmula F = m a nos da
m g = m a ó
a = g La última línea indica que la aceleración de un objeto cayendo siempre es igual a g, tanto si es un guijarro como una gran roca. La fuerza que tira de la roca hacia abajo, su “peso”, es mucho mayor: no obstante su masa, la inercia que deberá vencer para moverla, es grande también, con el mismo factor. La conclusión es que, grande ó pequeña, la aceleración siempre es igual a g.
Eso era lo que confundía a los científicos antes de Newton. Cuando veían caer a las piedras, pesadas o ligeras, con la misma velocidad, la función de la masa no estaba nada clara.
Lorand Eötvös
Estamos ahora en bellas y serias dificultades. Obviamente, la masa de un objeto puede ser medida de dos maneras diferentes (comparándola con la masa de un litro de agua). Una usando la gravedad, pesándola obtenemos la masa gravitatoria; indiquémosla como m. Ó se puede prescindir de la gravedad, como los astronautas abordo del Skylab y medir la “masa inercial”, llamándola M. Se puede visualizar un universo donde las dos sean diferentes, pero nuestro Universo no parece comportarse así. El físico húngaro Roland Eötvös (Lorand en húngaro) comparó las dos a lo largo de un siglo usando instrumentos muy sensibles y llegó a la conclusión que eran las mismas con una precisión de varios decimales. Esta igualdad se convirtió en una de las bases de la física, en especial de la teoría general de la relatividad .
Objetos en Descanso Cuando está de pié en el suelo, la gravedad continúa tirando su cuerpo hacia abajo con fuerza F = +mg (hacia abajo)
¿Por qué no cae? ¡Porque el suelo no le deja! Las partículas integrantes del suelo están juntas y no permiten a sus pies bajar más (como lo haría si estuviera sobre arenas movedizas). El hecho de que la fuerza F no produzca aceleración es la evidencia de que otra fuerza, opuesta al movimiento, es producida por el suelo:
F’ = -mg (hacia arriba)
Conjuntamente, F y F’ se suman y su resultado es cero, y el resultado es que sus pies y su cuerpo continúan quietos.
Esta es una regla general: si nada cambia, las fuerzas sumaran cero. Se dice que está “en equilibrio”, un concepto que será muy útil en la próxima sección. Tome nota de que no tiene nada que ver con la 3ª ley de Newton: la 3ª ley se ocupa de las fuerzas que producen el movimiento, mientras que aquí todas las fuerzas se cancelan.
